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By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach paintings der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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Beweis? 10. Durch Induktion beweise man die Schwarzsche Ungleichung: F¨ ur beliebige reelle Zahlen a1 , . . , an , b1 , . . , bn gilt (a1 b1 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + · · · + a2n )(b21 + · · · + b2n ). 5 Wurzeln. Algebraische Gleichungen Wir hatten gesehen, daß die quadratische Gleichung (1) x2 − c = 0 24 Kapitel 1. Grundlagen der Analysis bei beliebig vorgegebenem √ positiven c ∈ Q im allgemeinen nicht durch ein x ∈ Q √ ur jede Primgel¨ ost werden kann, denn 2 und allgemeiner p ist irrational f¨ zahl p ∈ N.

8 Ist k > 0 , 0 < q < 1 und cn := q n · k f¨ ur n ∈ N, so gilt cn → 0, denn wegen 0 < q < 1 ist 1/q > 1, also 1/q = 1 + a mit a > 0, somit 1/q n = (1 + a)n ≥ 1 + na > na (Bernoulli), und daher 0 < cn = q n k < ka · n1 → 0 nach 6 und Satz 4, (ii). Definition 4. Unter einer Intervallschachtelung verstehen wir eine Folge {In } von abgeschlossenen Intervallen In = [an , bn ] , an < bn , mit den Eigenschaften I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . und |In | → 0. Aus Axiom (III) erhalten wir das folgende, außerordentlich wichtige Resultat: Satz 5.

Vollst¨ andige Induktion, Satz von Archimedes, etc. Induktionsanfang: B1 ist jedenfalls richtig, denn 1 = 1 2 17 · 1 · 2. ur n = k stimmt; es gelte also Induktionsschluß : Wir nehmen an, daß Bn f¨ 1 + ... + k = 1 k(k + 1) . 2 Dann folgt 1 + . . + k + (k + 1) = 1 1 k(k + 1) + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) . 2 2 Somit ist Bn f¨ ur n = k + 1 richtig. ur jedes n ∈ N richtig ist. Das Induktionsprinzip liefert nun, daß Bn f¨ Nun wollen wir das Induktionsprinzip wiederholt anwenden, um einige Eigenschaften der nat¨ urlichen Zahlen zu beweisen, die zwar wohlvertraut sind, bei unserem Vorgehen aber verifiziert werden m¨ ussen.

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